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💡 1부터 9까지의 숫자를 한 번씩 사용해서 네 번의 덧셈으로 1000을 만들어라

1. 직관적 시도

$$987 + 65 + 43 + 2 + 1 = 1098$$

목표와 98 차이, 얼핏 보면 조금만 숫자를 다듬어 보면 할 수 있을 것 처럼 보입니다. 98만 줄이면 되니까요. 10의 자리에 있는 8과 6을 1의 자리에 있는 2, 1과 교환하면 - 140 + 30 + 14 - 3 =-99니까 가깝게 가겠지요.

$$917 + 25 + 43 + 6 + 8 = 999$$

그리고 여기서 문제가 생깁니다. 어느 숫자의 자리를 바꾸더라도, 그 결과는 9 단위로 움직입니다. 숫자가 a라고 했을 때, 그 결과는 결국 + 10a - a = 9a의 형태로 항상 9의 배수가 되니까요. 목표에서 1 차이 나는데, 9씩 움직여서는 답이 없습니다.

$$10a -a = 9a \\ 100a - 10a = 90a \\ 100a - a = 99a$$

2. 나머지 연산 (mod)

그러면 결국 1에서 9까지의 수를 더하는 식에서 9로 나눈 나머지가 1이 되게만 만들면 나머지는 계산으로 할 수 있다는 결론이 납니다. 이 숫자의 나머지를 구하는 걸 나머지 연산이라고 하고, 보통 mod라고 합니다. ‘10은 9로 나누어서 1이 남는다’를 이렇게 표현합니다.

$$10 = 1 mod 9$$

1~9의 합의 나머지를 확인 삼아 계산해 볼까요?

$${1+2+3+4+5+6+7+8+9} = {{9 \times 10} \over {2}} = 45 = 0 mod 9$$

1부터 9까지의 합은 나머지가 0이기 때문에 자릿수 바꾸기만으로는 결코 1000 = 1 mod 9에 도달할 수 없습니다. 그렇다면 이제 문제는 다른 연산자를 더하지 않고 이 나머지 연산의 결과를 바꿀 수 있는 게 뭐가 있냐는 질문으로 넘어옵니다.

3. 거듭제곱

가장 만만한 건 역시 거듭제곱이죠. 거듭제곱에 포함되는 두 수의 합의 9로 나눈 나머지와, 거듭제곱 결과의 9로 나눈 나머지가 1 차이면, 나머지는 자릿수 맞추기에 불과하게 됩니다. 그럼 제곱부터 계산해 볼까요?

	두 수의 합의 mod 9	거듭제곱의 mod 9	나머지 값의 변화
1	1 + 2 = 3 mod 9	1^2 = 1 mod 9	-2
3	3 + 2 = 5 mod 9	3^2 = 0 mod 9	-5
4	4 + 2 = 6 mod 9	4^2 = 7 mod 9	+1
5	5 + 2 = 7 mod 9	5^2 = 7 mod 9	0
6	6 + 2 = 8 mod 9	6^2 = 0 mod 9	-1
7	7 + 2 = 0 mod 9	7^2 = 4 mod 9	+4
8	8 + 2 = 1 mod 9	8^2 = 1 mod 9	0
9	9 + 2 = 2 mod 9	9^2 = 0 mod 9	-2

우리가 찾던 나머지 값을 1 키워주는 연산이 마침 있네요. 2^4입니다. 그러면 일단은 다시 나머지 연산을 해 볼까요?

$$1+3+5+6+7+8+9+4^2 = 55 = 1 mod 9$$

그렇다면 우리는 이제 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9로 984를 만들면 됩니다. 일단 직관적인 값을 하나 찾고, 그걸 잘 조정해볼까요. 높은 숫자를 높은 자리에 배치하고, 낮은 자리의 낮은 숫자와 교체하면서 수의 크기를 줄여 나가는 게 좋겠습니다.

$$987 + 65 + 3 + 1 = 1056 = 984 + 72$$

72만큼을 빼 줘야 합니다. 이건 곧, 자리 바꿈하는 두 수의 차가 8이어야 한다는 얘기가 됩니다. 8과 1, 6과 5를 자리바꿈해주면 되겠네요.

$$(-8 + 1 -6 + 5) * 9 = -72$$ $$917 + 56 + 3 + 8 + 4^2 = 1000$$

이런 식으로 문제를 해결할 수 있습니다.